Los
Pitagóricos, al pensar que todo podía explicarse con números; formaron clasificaciones
entre éstos y se dedicaron a descubrir sus características. Así iniciaron una
rama de las Matemáticas que hoy se conoce como la Teoría de Números, la cual fue
una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría, Egipto a partir del siglo III a.C. y que
estudia las propiedades de los números,
exclusivamente de los enteros. Tal
como cita Jürgen Neukirch: “La teoría de números ocupa entre
las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que
ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias”
El término "aritmética" aunque es muy antiguo y ya no es tan destacado como en el pasado, era también usado para hablar acerca de la teoría de números, es por esto que suele ser llamada “alta aritmética”, a pesar de que ya no sea tan frecuente su uso. En tal sentido, el término aritmética no debe confundirse con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal.
La teoría de números, según sus aplicaciones, se subdivide en diversas ramas.
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Una de ellas es la llamada Teoría Elemental de Números (Ver aquí) la cual
estudia los números enteros sin usar métodos derivados de otros campos de las
matemáticas. Pertenecen a esta categoría: La divisibilidad, el algoritmo de
Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los
enteros como producto de números primos y la búsqueda de los números perfectos y
las congruencias.
De esta rama también podemos nombrar enunciados típicos: El pequeño teorema de Fermat (Vea aquí el pequeño teorema de Fermat), el teorema de Euler (extiende el teorema de Fermat), el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática.
También se investigan propiedades de las funciones multiplicativas como: la función de Möbius y la función φ de Euler, así como las sucesiones de números enteros; como los factoriales y los números de Fermat.
La Teoría Analítica de Números
(Ver aquí) es otra rama de la teoría de números y se basa en el uso del cálculo y
el análisis complejo para estudiar preguntas acerca de los números
enteros, tales como: El teorema de los números primos y la hipótesis
de Riemann,
el
problema de Waring,
la conjetura
de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach. Dentro de esta teoría existen
interrogantes que parecen simples, pero requieren nuevas consideraciones y
aproximaciones, incluyendo las siguientes: Conjetura de Goldbach (todos
los números pares, a partir de 4, son la suma de dos números primos) (Ver aquí), conjetura de los números primos
gemelos (infinitud de los llamados números primos gemelos), el último teorema de
Fermat (demostrado en 1995 por Andrew Wiles) y la hipótesis de Riemann (distribución
de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el
problema de la distribución de los números primos).
¡Conoce su historia pulsando aquí!
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Sumamos a esta lista la Teoría de Números Aditiva, que trata de una manera más profunda los problemas de representación de números, tales como: el problema de Waring y la conjetura de Goldbach. En esta rama se suelen usar algunos resultados de la teoría analítica de números, tales como: método del círculo de Hardy-Littlewood. A veces se complementa con la teoría de cribas y en algunos casos suelen usarse métodos topológicos.
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La Teoría Algebraica de Números (Ver aquí) es la rama en la que el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales.
En el mismo orden de ideas, existe una teoría la cual integra todas las formas de geometría, comenzando con el teorema de Minkowski (Ver aquí), acerca de los puntos comunes en conjuntos convexos, e investigaciones sobre superficies esféricas. Esta es llamada la Teoría Geométrica de Números.
Seguidamente encontramos la Teoría Combinatoria de Números (Ver aquí) creada por Paul Erdős y que trata problemas como: sistemas cubiertos, problemas de suma cero, diversos conjuntos restringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros, involucrando en dichos problemas ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones.
Finalmente tenemos la Teoría Computacional de Números que estudia
los algoritmos relevantes de la teoría de números. Los algoritmos
rápidos para evaluar números primos y factorización de enteros tienen
importantes aplicaciones en criptografía.
Como señala Enzo R. Gentile: “La
evolución de la computación ha hecho que la aritmética deje de ser una ciencia
contemplativa y de especialistas para transformarse en una verdadera rama
aplicada. La necesidad de nuevos algoritmos de computación requiere vastos y
profundos conocimientos aritméticos”
Infórmate mas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros
Infórmate mas:
Elaborado por: Navetzi Quevedo
C.I: 18251666
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