Algebra II ULA: LEONHARD EULER

La historia muestra que los jefes de naciones que han favorecido el cultivo de la Matemática, la fuente común de todas las ciencias exactas, son también aquellos cuyos reinos han sido los más brillantes y cuyas glorias son las más durables.

Michel Chasles

LEONHARD EULER

VIDA

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.

Fue discípulo y un gran matemático como lo fue Jean Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, y la mayor parte de su trabajo se publicó en los anales de ciencias de estas instituciones. Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica, la Metafísica y la física.

Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro, ya de mayor. Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.

Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que se complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes, pero en la actualidad se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss.

PRINCIPALES APORTACIONES DE EULER A LAS MATEMÁTICAS

Descubrió la igualdad C + V = A + 2.
Demostró que el baricentro, ortocentro y circuncentro están alineados. Recta de Euler.
Argumentó que el infinito separaba los números positivos de los negativos de forma similar a como lo hace el cero.
Definió las funciones logarítmicas y exponenciales.
Desarrolló el cálculo de números complejos, demostrando que tiene infinitos logaritmos.
Resolvió el problema de los Puentes de Konigsberg.
Introdujo los símbolos e, f(x), el sumatoria y la letra pi para dicho número (el honor a Pitágoras ya que era la inicial de su nombre).
Clasificó las funciones y formuló el criterio para determinar sus propiedades.
Elaboró e introdujo la integración doble.
Descubrió el teorema de la composición de integrales elípticas.
Dedujo la ecuación diferencial de la línea geodésica sobre una superficie.
Introdujo la ecuación de la expansión volumétrica de los líquidos.
Fue el padre de la Teoría de Gráficas.
Amplió y perfeccionó la geometría plana y de sólidos.
Demostró que podían conseguirse objetivos acromáticos de foco finito, asociando dos tipos de vidrios distintos.
Fue el primero en considerar el seno y el coseno como funciones.
Introdujo los factores integrantes en las ecuaciones diferenciales.
Generalizó la congruencia de Fermat, introduciendo una expresión que Gauss denominó "indicador".
Se adelantó a Legendre en el descubrimiento de la "ley de reciprocidad" de los restos cuadráticos.
Añadió el "cuadrado latino" a los cuadrados mágicos (“padre” de los famosos “sudokus”).
Ideó métodos para el desarrollo en serie de raíces.
Inició el estudio de las funciones simétricas de las raíces.
En álgebra, ideó métodos de eliminación y descomposición en fracciones simples.
A él se debe la utilización de letras minúsculas para designar los lados de un triángulo y de las mayúsculas para los vértices.

Constante de Euler

Fórmula de Euler

Identidad de Euler

Problema de los puentes de

Königsberg

El problema de los siete puentes de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII -ciudad natal de Kant- y actualmente, Kaliningrado, en la óblast rusa de Kaliningrado) es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos.

Consiste en lo siguiente:

Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo terminando en el punto de partida sin repetir las líneas?

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento). En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo.